Question

（本小題共12分）設x=3是函數f (x) = (x²+ax+b)·e^3-x (x∈R)的一個極值點。
⑴求a與b的關系式，(用a表示b)，并求f(x)的單調區(qū)間。
⑵設a>0， ，若存在ε₁，ε₂∈[0，4]，使｜f (ε₁)-g (ε₂)｜<1成立，求a的取值范圍。

Answer 1

（1）略
（2）a的取值范圍是。 

解：⑴                       （2分）

＝
令
由于x＝3是極值點，所以3+a+1≠0，那么a≠－4。
當a<－4時，x₂>3＝x₁，則在區(qū)間（－∞，3）上，，f(x)為減函數；
在區(qū)間（3，－a－1）上f (x)為增函數。
在區(qū)間（－a－1，+∞）上f (x)為減函數。              （4分）
當a>－4時，x₂<3＝x₁，則在區(qū)間（－∞，－a－1）上f(x)為減函數；
在區(qū)間（－a－1，3）上，為增函數；
在區(qū)間（3，+∞）上， f(x)為減函數。                （6分）
⑵由①知，當a>0時，f(x)在區(qū)間（0，3）上的單調遞增，在區(qū)間（3，4）上單調遞減，
那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min (f (0)，f (4))，f (3)]，
而f (0)＝－（2a+3）e³<0，f (4)＝（2a+13）e^-1>0，f（3）＝a+6，  
那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－（2a+3）e³，a+6]，           （8分）
又g (x)＝在區(qū)間[0，4]上是增函數，
且它在區(qū)間[0，4]上的值域是            （10分）
由于
所以只需        
故a的取值范圍是。                                （12分）