Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m.

(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程.

Answer 1

解：(1)由得5x²+2mx+m²-1=0.

因?yàn)橹本�與橢圓有公共點(diǎn),

所以Δ=4m²-20(m²-1)≥0.

解得

(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由(1),知5x²+2mx+m²-1=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=,x₁x₂=(m²-1).設(shè)弦長(zhǎng)為d,

所以

所以當(dāng)m=0時(shí)，d最大,此時(shí)直線方程為y=x.

綠色通道：

判斷直線與橢圓的交點(diǎn)情況就是要聯(lián)立方程組,消去x(或y)轉(zhuǎn)化為關(guān)于y(或x)的一元二次方程,利用判別式求解.在第(1)問(wèn)中Δ≥0,即可求出m的取值范圍.第(2)問(wèn)求弦長(zhǎng)最大時(shí)的直線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式,將弦長(zhǎng)表示成關(guān)于m的函數(shù),求出當(dāng)弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)的m值,從而確定直線方程.