Question

設集合A⊆R，如果x₀∈R滿足：對任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-x₀|＜a，那么稱x₀為集合A的一個聚點，則在下列集合中：（1）z⁺∪z^-；（2）R⁺∪R^-；（3）；（4），以0為聚點的集合有________
（寫出所有你認為正確的結論的序號）．

Answer 1

解：（1）對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z⁺∪Z^-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是Z⁺∪Z^-的聚點；
（2）集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=（實際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點；
（3）集合中的元素是極限為0的數(shù)列，對于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a，
∴0是集合的聚點．
（4）中，集合中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項0之外，其余的都至少比0大，
∴在a＜的時候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{|n∈N*}的聚點．
故答案為：（2）（3）．
分析：根據(jù)集合聚點的新定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．
點評：本題的考點是函數(shù)恒成立問題，主要考查的知識點是集合元素的性質，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關鍵．