Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常數(shù)），且S₁=1，S₃=7．
（1）求λ的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試比較

Tn

2

與S_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=2λS_n+1，得S₂=2λS₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1=7，由此可求出λ=1．
（2）由題意可知S_n+1=2S_n+1，從而數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以S_n=2ⁿ-1，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）錯位相消法求出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n，再作差比較

Tn

2

與S_n的大小．

解答：解：（1）∵S₁=1，S₃=7
∴由S_n+1=2λS_n+1，得S₂=2λS₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1=7
∴λ=1或λ=-

3

2

∵λ＞0，∴λ=1．（5分）
（2）∵λ=1
∴S_n+1=2S_n+1
整理得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴S_n+1=2•2^n-1，可得S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），
∵當(dāng)n=1時，a₁=1滿足a_n=2^n-1，
∴a_n=2^n-1．（10分）
（3）Tn=1•20+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1①
2Tn=1•2 +2•22+3•23+…+(n-2)•2n-2+(n-1)•2n-1+n•2n②
①-②得：-Tn=1+2+22+…+2n-2+2n-1-n•2n．
則Tn=n•2n-2n+1，…（11分）
∴

Tn

2

-Sn=

n•2n-2n+1

2

-(2n-1)=(n-3)•2n-1+

3

2

…（12分）
∴當(dāng)n=1時，

T1

2

-S1=-

1

2

＜0．
當(dāng)n=2時，

T2

2

-S2=-

1

2

＜0．
即當(dāng)n=1或n=2時，

Tn

2

-Sn＜0，

Tn

2

＜Sn．…（13分）
當(dāng)n≥3時，

Tn

2

-Sn＞0，

Tn

2

＞Sn．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列性質(zhì)和應(yīng)用，考查錯位相消法求數(shù)列的函數(shù)，考查構(gòu)造法思想的運(yùn)用，解題時要注意計算能力的培養(yǎng)