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        1. 已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=2λSn+1(λ是大于0的常數(shù)),且S1=1,S3=7.
          (1)求λ的值;
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (3)設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn,試比較
          Tn2
          與Sn的大。
          分析:(1)由Sn+1=2λSn+1,得S2=2λS1+1=2λ+1,S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1=7,由此可求出λ=1.
          (2)由題意可知Sn+1=2Sn+1,從而數(shù)列{Sn+1}是以S1+1=2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,所以Sn=2n-1,由此可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (3)錯(cuò)位相消法求出數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn,再作差比較
          Tn
          2
          與Sn的大小.
          解答:解:(1)∵S1=1,S3=7
          ∴由Sn+1=2λSn+1,得S2=2λS1+1=2λ+1,S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1=7
          ∴λ=1或λ=-
          3
          2

          ∵λ>0,∴λ=1.(5分)
          (2)∵λ=1
          ∴Sn+1=2Sn+1
          整理得Sn+1+1=2(Sn+1),
          ∴數(shù)列{Sn+1}是以S1+1=2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,
          ∴Sn+1=2•2n-1,可得Sn=2n-1,
          ∴an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),
          ∵當(dāng)n=1時(shí),a1=1滿足an=2n-1,
          ∴an=2n-1.(10分)
          (3)Tn=1•20+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1
          2Tn=1•2 +2•22+3•23+…+(n-2)•2n-2+(n-1)•2n-1+n•2n
          ①-②得:-Tn=1+2+22+…+2n-2+2n-1-n•2n
          Tn=n•2n-2n+1,…(11分)
          Tn
          2
          -Sn=
          n•2n-2n+1
          2
          -(2n-1)=(n-3)•2n-1+
          3
          2
          …(12分)
          ∴當(dāng)n=1時(shí),
          T1
          2
          -S1=-
          1
          2
          <0

          當(dāng)n=2時(shí),
          T2
          2
          -S2=-
          1
          2
          <0

          即當(dāng)n=1或n=2時(shí),
          Tn
          2
          -Sn<0,
          Tn
          2
          Sn
          .…(13分)
          當(dāng)n≥3時(shí),
          Tn
          2
          -Sn>0,
          Tn
          2
          Sn
          .…(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列性質(zhì)和應(yīng)用,考查錯(cuò)位相消法求數(shù)列的函數(shù),考查構(gòu)造法思想的運(yùn)用,解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)
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          100

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          3
          2
          n2+
          7
          2
          n? (n∈N*)

          (Ⅰ)求a1,a2
          (Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
          (Ⅲ)如果數(shù)列{bn}滿足an=log2bn,請(qǐng)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Tn

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          19、已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=2λSn+1(λ是大于0的常數(shù)),且a1=1,a3=4.
          (1)求λ的值;
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
          (3)設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn

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          已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn=
          3
          2
          n2+
          7
          2
          n (n∈N*)

          (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
          (Ⅱ)如果數(shù)列{bn}滿足an=log2bn,請(qǐng)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和.

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          已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)在以F(0,
          14
          )為焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上,數(shù)列{bn}滿足bn=2 an
          (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)cn=an×bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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