Question

如圖，已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，PA=AB，點(diǎn)E、F分別在線段PB、AC上，滿足BE=CF．
（1）求PD與平面ABCD所成的角的大小；
（2）求平面PBD與平面ABCD所成角的正切值．
（3）求證：EF⊥CD．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA是PD與平面ABCD所成角
又PA=AB=AD
∴∠PDA=45°，
∴PD與平面ABCD所成的角為45°
（2）連接BD交AC于O，連接PO，
則AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，而PA∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，又PO?面PAC，
∴BD⊥PO，
∴∠AOP就是平面PBD與平面ABCD所成角，
在Rt△AOP中，tan∠AOP==；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EH∥PA，交AB于H，連接FH，
則，
∵BE=CF，BP=AC，∴，∴
∴FH∥AD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥FH 又PA⊥CD，∴CD⊥EH
∴CD⊥平面EFH，
∴EF⊥CD．
分析：（1）要求PD與平面ABCD所成的角，必須找到直線PD在平面ABCD內(nèi)的射影；（2）要求平面PBD與平面ABCD所成角的正切值，找到該二面角的平面角，根據(jù)二面角的平面角的定義即可找到該角；（3）過(guò)點(diǎn)E作EH∥PA，交AB于H，連接FH，要證EF⊥CD．只需證CD⊥平面EFH，
點(diǎn)評(píng)：考查直線與平面所成的角，二面角以及線面垂直的性質(zhì)定理，在求空間角時(shí)，難點(diǎn)是找到線面角和二面角的平面角，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．