Question

已知函數(shù)滿足,對于任意R都有,且 ,令.

（Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）研究函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

 

Answer 1

【答案】

∵，∴.                 …… 1分        

∵對于任意R都有,

∴函數(shù)的對稱軸為，即，得.   …… 2分

又，即對于任意R都成立，

∴,且．

　∵，      ∴．

　∴．                …… 4分

(2) 解：       …… 5分

① 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸為，

若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增；  …… 6分

若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  …… 7分

② 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸為，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．   …… 8分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；                     …… 9分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為

和．                                         …… 10分

 (3)解：① 當(dāng)時(shí)，由(2)知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

故函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)．       …… 11分

② 當(dāng)時(shí)，則，而，

，

（�。┤�，由于，

且，

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；                    …… 12分

（ⅱ）若，由于且，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．                 …… 13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

【解析】略