Question

如圖所示，是⊙直徑，弦的延長線交于，垂直于的延長線于.求證：
（1）；
（2）.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）分析結(jié)論成立所需條件，拉近它與已知條件的距離，要熟悉圓所具有的一切性質(zhì)，和四點(diǎn)共圓所需條件，這是解決此題的前提；（2）要熟悉圓所具有的一切性質(zhì)，注意比例式與乘積式的轉(zhuǎn)化，掌握常規(guī)問題的處理方法.

試題解析： （1）連接，連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/7/1u6vz4.png" style="vertical-align:middle;" />是⊙直徑，所以，從而
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0d/3/na4qd.png" style="vertical-align:middle;" />垂直于的延長線于，所以，因此四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得劣弧所對的圓周角與相等，即.
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/7/1u6vz4.png" style="vertical-align:middle;" />是⊙直徑，所以，即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0d/3/na4qd.png" style="vertical-align:middle;" />垂直于的延長線于，所以，因此四點(diǎn)共圓，根據(jù)相交線定理有：①
在△和△中，有，，因此△∽△，從而有
，即②
由①②得：，
即得證.
考點(diǎn)：平面幾何中圓與三角形的知識.