Question

已知A₁，A₂是橢圓

x2

a2

+ 

y2

b2

=1(a＞b＞0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，B是它短軸的一個(gè)端點(diǎn)，如果

BA1

與

BA2

的夾角不小于

2π

3

，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A．(0，

  6

  3

  ]
• B．(

  6

  3

  ，1)
• C．[

  6

  3

  ，1)
• D．[

  3

  3

  ，1)

Answer 1

分析：先將已知條件

BA1

與

BA2

的夾角不小于

2π

3

轉(zhuǎn)化為∠A₁BO≥

π

3

，為建立a、b、c間的不等式創(chuàng)造條件，再在Rt△BOA₁中，將∠A₁BO≥

π

3

轉(zhuǎn)化為

a

b

≥

3

，最后利用橢圓中b²=a²-c²將不等式轉(zhuǎn)化為離心率不等式，解不等式得離心率取值范圍

解答：解：設(shè)橢圓中心為O，∵

BA1

與

BA2

的夾角不小于

2π

3

，即∠A₁BO≥

π

3

在Rt△BOA₁中，|OA₁|=a，|OB|=b，tan∠A₁BO=

|OA 1|

|OB|

=

a

b

≥tan（

π

3

）=

3

即a≥

3

b，即a²≥3b²，即a²≥3（a²-c²）
∴2a²≤3c²∴e²≥

2

3

∴e≥

6

3

，又∵橢圓的離心率0＜e＜1
∴該橢圓的離心率的取值范圍是[

6

3

，1)
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的幾何性質(zhì)，特別是求橢圓離心率的方法，解題時(shí)要認(rèn)真總結(jié)規(guī)律，提高解題速度