Question

設(shè)向量

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

（1）把y表示成x的函數(shù)y=f（x）；
（2）若tanA，tanB是方程f（x）+2=0的兩個實根，A，B是△ABC的兩個內(nèi)角，求tanC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

，利用內(nèi)積為0可得出關(guān)于y與x的方程，再用x表示出y即可得到函數(shù)y=f（x）；
（2）由于tanC=-tan（A+B），結(jié)合公式tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

及tanA，tanB是方程f（x）+2=0的兩個實根利用根與系數(shù)的關(guān)系即可將tanC用m表示出來，再由題設(shè)條件求出m的取值范圍，即可求出tanC的取值范圍

解答：解：（1）∵向量

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

∴[m（x+1）-1]（x+1）-y=0     2’
y=f（x）=mx²+（2m-1）x+m-1        4’
（2）由題意A，B是△ABC的兩個內(nèi)角
∴tanC=-tan（A+B）
∵tanA，tanB是方程f（x）+2=0的兩個實根
∴△≥0⇒m≤

1

8

         8’
tanA+tanB=

1-2m

m

，tanAtanB=

m+1

m

∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=2m-1  
∴tanC=1-2m           9’
A，B是三角形的內(nèi)角，至多一個為鈍角，tanA，tanB中至多有一個取負值，且都不為零
若都為正，由韋達定理tanA+tanB=

1-2m

m

＞0，得0＜m＜

1

2

，又m≤

1

8

，可得0＜m≤

1

8

，故有tanC=1-2m∈[

3

4

，1) 10’
若一正一負，由韋達定理tanAtanB=

m+1

m

＜0，可得-1＜m＜0，故有tanC∈（1，3）11’
綜上 tanC∈[

3

4

，1)∪(1，3)      12’

點評：本題考點是平面向量的綜合題，考查了數(shù)量積的運算，正切的和角公式，根與系數(shù)的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化，本題的難點是對參數(shù)取值范圍的討論，易因為沒有考慮方程兩根tanA，tanB的符號導致擴大了范圍，產(chǎn)生錯誤，解題時要注意通盤考慮題詞設(shè)中的限制條件，等價轉(zhuǎn)化，考察了轉(zhuǎn)化的思想方程的思想及分類討論的思想，本題綜合性強，難度較大，有一個嚴謹做題的好習慣可避免出錯