Question

已知f（x）=2^x+

1

2x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
（2）判斷函數(shù)在（-∞，0）內(nèi)的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）判斷知，此函數(shù)f（x）=2^x+

1

2x

 是一個偶函數(shù)，由偶函數(shù)的定義進(jìn)行證明即可；
（2）f（x）=2^x+

1

2x

是減函數(shù)，可由定義法證明，此函數(shù)在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減；

解答：解：（1）函數(shù)是一個偶函數(shù)，證明如下
由已知f（x）=2^x+

1

2x

=2^x+2^-x，
∵f（-x）=2^x+2^-x=f（x）
∴函數(shù)是一個偶函數(shù)
（2）是減函數(shù)，證明如下
任取x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)
由于x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)

點評：本題考點是指數(shù)函數(shù)綜合題，考查了指數(shù)的運算性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷證明，函數(shù)單調(diào)性的證明，正確解答本題，第一小題關(guān)鍵是理解偶函數(shù)的定義及證明方法，第二小題關(guān)鍵是熟練掌握單調(diào)性的定義及單調(diào)性證明的步驟，定義法是證明單調(diào)性的重要方法，要熟練掌握