Question

（本小題滿分12分）

已知函數，．

（Ⅰ） 求函數在點(1，)處的切線方程；

（II） 若函數與在區(qū)間上均為增函數,求的取值范圍；

（Ⅲ） 若方程有唯一解,試求實數的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（II）

（Ⅲ）當時原方程有唯一解的充要條件是

【解析】解：（Ⅰ）因為,所以切線的斜率…………………2分

又,故所求切線方程為,即…………………4分

（II）因為,又x>0,所以當x>2時,；當0<x<2時, ．

即在上遞增,在（0,2）上遞減………………………………5分

又,所以在上遞增,在上遞減……………6分

欲與在區(qū)間上均為增函數,則,

解得…………8分

（Ⅲ） 原方程等價于,令,則原方程即為．

因為當時原方程有唯一解,所以函數與的圖象在y軸右側有唯一的交點

……………10分

又, 且x>0,所以當x>4時,；

當0<x<4時, ．

即在上遞增,在（0,4）上遞減．

故h（x）在x=4處取得最小值

從而當時原方程有唯一解的充要條件是……………12分