Question

【題目】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點P在C上，若PF⊥x軸，且△POF（O為坐標原點）的面積為1.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若C上的兩動點A，B（A，B在x軸異側）滿足，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）先解出P點坐標，再表示△POF面積為1，解得p，進而得出拋物線方程.

（2）設直線AB方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立拋物線方程，消元x，可得含y的一元二次方程，由韋達定理可得y1+y2，y1y2，|AB|①，因為|FA|+|FB|＝|AB|+2，得x1+x2＝|AB|，2m2+2n＝|AB|②由①②得2m2+2n，根據(jù)32，所以y1y2＝32，n2﹣8n﹣128＝0，進而得出答案.

（1）由題知P點的橫坐標為，代入拋物線方程得，y2＝2p，解得y＝p或﹣p，

所以P（，﹣p）或（，p），△POF面積為1，解得p＝2，

所以拋物線C方程為y2＝4x，S△OFP.

（2）設直線AB方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）

聯(lián)立拋物線方程得y2﹣2my﹣2n＝0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2n，

|AB|①

因為|FA|+|FB|＝|AB|+2，所以x1+1+x2+1＝|AB|+2，即x1+x2＝|AB|，

my1+n+my2+n＝|AB|，m（y1+y2）+2n＝|AB|，2m2+2n＝|AB|②

由①②得2m2+2n，化簡得m2＝n2﹣2n，

因為32，所以x1x2+y1y2＝32，所以y1y2＝32，

（y1y2）2+16y1y2﹣16×32＝0，（﹣2n）2+16（﹣2n）﹣16×32＝0，n2﹣8n﹣128＝0，

解得n＝﹣8（舍）或16，

所以|AB|＝2m2+2n＝2（n2﹣2n）+2n＝2n2﹣2n＝480.