Question

函數(shù)y=x+

a

x

(x＞0)有如下性質：若常數(shù)a＞0，則函數(shù)在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)．已知函數(shù)f(x)=x+

m

x

（m∈R為常數(shù)），當x∈（0，+∞）時，若對任意x∈N，都有f（x）≥f（4），則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得f（4）是函數(shù)的最小值，則f（3）≥f（4）且f（5）≥f（4），由此得m的不等式組，解出即可．

解答：解：由函數(shù)y=x+

a

x

(x＞0)的性質可知，若對任意x∈N，都有f（x）≥f（4），
則f（4）是函數(shù)的最小值，
即

f(3)≥f(4) f(5)≥f(4)

，
∴

3+ m 3 ≥4+ m 4 5+ m 5 ≥4+ m 4

，
即

m 3 - m 4 ≥1 m 4 - m 5 ≤1

，
∴

m≥12 m≤20

，
解得12≤m≤20，
故答案為：[12，20]．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性的應用，正確理解函數(shù)f（x）的性質是解決本題的關鍵．