Question

已知盒中裝有3個紅球和4個黑球，且每球摸到的機會均等．
（Ⅰ）現(xiàn)從該盒中摸3次球，每次摸一個，記下顏色后放回原盒中，問3次中恰有兩次摸到紅球的概率；
（Ⅱ）若甲、乙兩人從該盒中各一次性摸出3個球（摸后不放回），設甲摸到的紅球數(shù)為m，乙摸到的紅球數(shù)為n，令X=|m-n|，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）由題意可知：每次摸一個球并且放回，則摸到紅球的概率p=

3

7

．設3次中摸到紅球的次數(shù)為隨機變量ξ，則ξ～B（3，

3

7

），即可得出；
（II）由題意可知：X可能取值0，1，2，3．①當甲摸到0個紅球時，則乙可能摸到紅球的個數(shù)為2，3；②當甲摸到1個紅球時，則乙可能摸到紅球的個數(shù)為1，2；③當甲摸到2個紅球時，乙可能摸到紅球的個數(shù)為1；或摸到2個紅球乙摸到0個紅球兩種情況；④當甲摸到3個紅球時，則乙可能摸到紅球的個數(shù)為0．利用相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式即可得出．

解答：解：（I）由題意可知：每次摸一個球并且放回，則摸到紅球的概率p=

3

7

．
設3次中摸到紅球的次數(shù)為隨機變量ξ，則ξ～B（3，

3

7

），
∴3次中恰有兩次摸到紅球的概率P=

C

2 3

(

3

7

)2(1-

3

7

)=

108

343

．
（II）由題意可知：X可能取值0，1，2，3．
①當甲摸到0個紅球時，則乙可能摸到紅球的個數(shù)為2，3；
②當甲摸到1個紅球時，則乙可能摸到紅球的個數(shù)為1，2；
③當甲摸到2個紅球時，乙可能摸到紅球的個數(shù)為1；或摸到2個紅球乙摸到0個紅球兩種情況；
④當甲摸到3個紅球時，則乙可能摸到紅球的個數(shù)為0．
因此X=0表示的是甲乙兩個人都摸到一個紅球時，
∴P（X=0）=

C 1 3 C 2 4 • C 1 2 C 2 2

C 3 7 C 3 4

=

9

35

．
X=1表示的是甲摸到一個紅球乙摸到兩個紅球，甲摸到兩個紅球乙摸到一個紅球兩種情況：
∴P（X=1）=

C 1 3 C 2 4 • C 2 2 C 1 2

C 3 7 C 3 4

+

C 2 3 C 1 4 • C 1 1 C 2 3

C 3 7 C 3 4

=

18

35

．
X=2表示的是甲摸到0個紅球乙摸到兩個紅球，甲摸到2個紅球乙摸到0個紅球兩種情況：
∴P（X=2）=

C 3 4 • C 2 3 C 1 1

C 3 7 C 3 4

+

C 2 3 C 1 4 • C 3 3

C 3 7 C 3 4

=

6

35

．
X=3表示的是甲摸到0個紅球乙摸到3個紅球，甲摸到3個紅球乙摸到0個紅球兩種情況：
P（X=3）=

C 3 4 • C 3 3

C 3 7 C 3 4

+

C 3 3 C 3 4

C 3 7 C 3 4

=

2

35

．
故X的分布列為：

X	0	1	2	3
p	9 35	18 35	6 35	2 35

點評：本題考查了二項分布列、相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式及其數(shù)學期望，屬于難題．