Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．?
（1）若f（x）=1-

3

，且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；?
（2）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量

c

=（m，n），（|m|＜

π

2

）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值．

Answer 1

分析：（1）把向量代入數(shù)量積，利用二倍角和兩角和的正弦函數(shù)化簡為f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），通過f（x）=1-

3

，且x∈[-

π

3

，

π

3

]，得到?sin(2x+

π

6

)=-

3

2

．?求出x的值．
（2）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量

c

=（m，n），（|m|＜

π

2

）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，說明兩個函數(shù)表達(dá)式相同，比較兩個函數(shù)的關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù)m、n的值．

解答：解：（1）依題設(shè)f（x）=2cos²x+

3

sin2x=1+2sin（2x+

π

6

），
由1+2sin（2x+

π

6

）=1-

3

，
得?sin(2x+

π

6

)=-

3

2

．?
∵-

π

3

≤x≤

π

3

，
∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，?
∴2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

．

（2）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量

c

=（m，n）平移后得到函數(shù)y=2sin2（x-m）+n的圖象，
即函數(shù)y=f（x）的圖象．?
由（1）得f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1，?
∴|m|＜

π

2

，
∴m=-

π

12

，n=1．?

點(diǎn)評：本題是中檔題，高考�？碱}型，考查二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)，已知函數(shù)值求角，三角函數(shù)圖象的平移等知識，考查計算能力，邏輯推理能力．