Question

市場營銷人員對過去幾年某種商品的價格及銷售數(shù)量的關(guān)系作統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價格上漲x%（x＞0），銷售數(shù)量就減少kx%（其中k為正常數(shù)）．已知目前該商品價格為每件a元，其銷售數(shù)量為b件．
（1）當k=

1

2

時，該商品的價格上漲多少就能使銷售總金額達到最大？
（2）為控制物價，物價部門規(guī)定該商品漲價幅度不得超過50%．在漲價過程中，求使銷售金額不斷增加時k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)該商品價格上漲x%后，銷售金額為y元，再寫出y的函數(shù)解析式，最后求出當k=

1

2

時，y有最大值，即得上漲多少就能使銷售總金額達到最大．
（2）根據(jù)由（1）得到的函數(shù)解析式，再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，得到該函數(shù)在（0，50]上單調(diào)遞增可得k的取值范圍．

解答：解：設(shè)該商品價格上漲x%后，銷售金額為y元，
則y=b×(1-kx%)•a×(1+x%)=ab(1-kx%)(1+x%)

&(x＞0)

（1）當k=

1

2

時，y=

ab

2

×10-4[-(x-50)2+22500]
當x=50時，y有最大值，即上漲50%就能使銷售總金額達到最大．
（2）y=ab×10-⁴（-kx²+100（1-k）x+10000）a，b，k＞0
由該函數(shù)在（0，50]上單調(diào)遞增可得：

100(1-k)

2k

≥50?k∈(0，

1

2

]

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、二次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．