Question

（2013•紅橋區(qū)二模）已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=l（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），若該橢圓的離心率等于

3

2

．
（1）求橢圓的方程．
（2）Q是橢圓上位于x軸下方的一點(diǎn)，F(xiàn)₁F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線QF₁的傾斜角為

π

6

，求△QF₁F₂的面積；
（3）以B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個(gè)？若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）易知b=1，由離心率為

3

2

，得

c

a

=

3

2

，再由a²=b²+c²可求得a，于是得到橢圓方程；
（2）易求直線QF₁的方程，與橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由三角形面積公式得S△QF1F2=

1

2

|F1F2||yQ|，代入即可求得答案；
（3）假設(shè)這樣的三角形存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=-

1

k

x+1，分別于橢圓方程聯(lián)立可求得點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)，由|AB|=|BC|得點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)的方程，綜上可得關(guān)于k的方程，解出即可；

解答：解：（1）依題意，b=1，因?yàn)殡x心率等于

3

2

，
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
所以橢圓方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）F₁（-

3

，0），直線QF₁：y=

3

3

(x+

3

)，代入

x2

4

+y2=1中，
得xQ=-

8 3

7

，yQ=-

1

7

，又|F1F2|=2

3

，
所以S△QF1F2=

1

2

|F1F2||yQ|=

3

7

；
（3）假設(shè)這樣的三角形存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kx=0，解得xA=-

8k

1+4k2

①，
由

y=- 1 k x+1 x2+4y2=4

，得（k²+4）x²-8kx=0，解得xC=-

8k

4+k2

②，
因?yàn)閨AB|=|BC|，得：xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，
將y_A=kx_A+1，yC=-

1

k

xC+1代入得：
xA2(1+k2)=xC2(1+

1

k2

)，k2xA2=xC2，
將①②代入得：k²（4+k²）²=（4k²+1）²，即[k（4+k²）+1+4k²][k（4+k²）-（1+4k²）]=0，
因?yàn)閗＞0，k（4+k²）+1+4k²＞0，得（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得k=1，k=

3+ 5

2

，k=

3- 5

2

，
所以存在這樣的等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力．