Question

某單位舉行新年猜謎獲獎(jiǎng)活動(dòng)，每位參與者需要先后回答兩道選擇題：?jiǎn)栴}A有四個(gè)選項(xiàng)，問題B有六個(gè)選項(xiàng)，但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．正確回答問題A可獲獎(jiǎng)金a元，正確回答問題B可獲獎(jiǎng)金b元．活動(dòng)規(guī)定：①參與者可任意選擇回答問題的順序；②如果第一個(gè)問題回答錯(cuò)誤，則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)中止．
（1）若a=100，b=200時(shí)，某人決定先回答問題B，則他獲得獎(jiǎng)金的期望值為多少；
（2）一個(gè)參與者在回答問題前，對(duì)這兩個(gè)問題都很陌生，因而準(zhǔn)備靠隨機(jī)猜測(cè)回答問題．試確定回答問題的順序使獲獎(jiǎng)金額的期望值較大．

Answer 1

隨機(jī)猜對(duì)問題A的概率P1=

1

4

，隨機(jī)猜對(duì)問題B的概率P2=

1

6

（1）若先回答問題B，則參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，200，300，則P(η=0)=1-P2=

5

6

，P(η=200)=P2(1-P1)=

1

8

，P(η=300)=P1P2=

1

24

∴Eη=0×

5

6

+200×

1

8

+300×

1

24

=

75

2

元（3分）
（2）回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
若先回答問題A，再回答問題B．參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，a，a+b，則P(ξ=0)=1-P1=

3

4

，P(ξ=a)=P1(1-P2)=

5

24

，P(ξ=a+b)=P1P2=

1

24

∴Eξ=0×

1

4

+a×

5

24

+(a+b)×

1

24

=

6a+b

24

元（5分）
若先回答問題B，再回答問題A．參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，b，a+b，則P(η=0)=1-P2=

5

6

，P(η=a)=P2(1-P1)=

1

8

，P(η=a+b)=P1P2=

1

24

∴Eη=0×

5

6

+b×

1

8

+(a+b)×

1

24

=

a+4b

24

元（7分）Eξ-Eη=

6a+b

24

-

a+4b

24

=

5a-3b

24

∴當(dāng)

a

b

＞

3

5

時(shí)，Eξ＞Eη，先回答問題A，再回答問題B，獲獎(jiǎng)的期望值較大；
當(dāng)

a

b

=

3

5

時(shí)，Eξ=Eη，兩種順序獲獎(jiǎng)的期望值相等；
當(dāng)

a

b

＜

3

5

時(shí)，Eξ＜Eη，先回答問題B，再回答問題A，獲獎(jiǎng)的期望值較大．（10分）