Question

（1）證明函數(shù)y=f(x)=

x

1+x2

在（-1，1）上是增函數(shù)．（2）試討論函數(shù)f(x)=

kx

1+x2

在（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，解得f′（x）＞0在（-1，1）上成立，所以f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（2）解得f′（x）=

k(1-x2)

(1+x2)2

，由（1）得知

1-x2

(1+x2)2

＞0，只需對(duì)k進(jìn)行討論，判斷f′（x）與0的大小關(guān)系，從而得到f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．

解答：解；（1）∵f（x）=

x

1+x2

∴f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

∵-1＜x＜1∴1-x²＞0
∴f′（x）＞0
即f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（2）∵f（x）=

kx

1+x2

∴f′（x）=

k(1-x2)

(1+x2)2

，
由（1）得知

1-x2

(1+x2)2

＞0，
對(duì)k進(jìn)行討論：
當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=0；即f（x）在（-1，1）上不具有單調(diào)性；
當(dāng)k＜0時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)；
當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題比較簡(jiǎn)單，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于函數(shù)這一章節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)熟練掌握其方法步驟．