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        1. (04年福建卷文)(14分)

          已知f(x)=在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).

          (Ⅰ)求實數(shù)a的值組成的集合A;

          (Ⅱ)設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

           

          解析:(Ⅰ)f'(x)=4+2  ∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),

          ∴f'(x)≥0對x∈[-1,1]恒成立,

          即x2-ax-2≤0對x∈[-1,1]恒成立.        ①

          (x)=x2-ax-2,

          方法一:

          ①      -1≤a≤1,

          ∵對x∈[-1,1],只有當a=1時,f'(-1)=0以及當a=-1時,f'(1)=0

          ∴A={a|-1≤a≤1}.

          方法二:

           

                 0≤a≤1         或   -1≤a≤0

                 -1≤a≤1.

          ∵對x∈[-1,1],只有當a=1時,f'(-1)=0以及當a=-1時,f'(1)=0

          ∴A={a|-1≤a≤1}.

          (Ⅱ)由

          ∵△=a2+8>0

          ∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩非零實根,x1+x2=a,x1x2=-2,

          從而|x1-x2|==.

          ∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.

          要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,

          當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈[-1,1]恒成立,

          即m2+tm-2≥0對任意t∈[-1,1]恒成立.        ②

          設g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),

          方法一:

          ②    g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0,

                         

          m≥2或m≤-2.

          所以,存在實數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.

          方法二:

          當m=0時,②顯然不成立;

          當m≠0時,

            m>0, g(-1)=m2-m-2≥0   或m<0,g(1)=m2+m-2≥0

           m≥2或m≤-2.

          所以,存在實數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.

           

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