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        1. (04年福建卷文)(14分)

          已知f(x)=在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).

          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;

          (Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

           

          解析:(Ⅰ)f'(x)=4+2  ∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),

          ∴f'(x)≥0對x∈[-1,1]恒成立,

          即x2-ax-2≤0對x∈[-1,1]恒成立.        ①

          設(shè)(x)=x2-ax-2,

          方法一:

          ①      -1≤a≤1,

          ∵對x∈[-1,1],只有當(dāng)a=1時(shí),f'(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f'(1)=0

          ∴A={a|-1≤a≤1}.

          方法二:

           

                 0≤a≤1         或   -1≤a≤0

                 -1≤a≤1.

          ∵對x∈[-1,1],只有當(dāng)a=1時(shí),f'(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f'(1)=0

          ∴A={a|-1≤a≤1}.

          (Ⅱ)由

          ∵△=a2+8>0

          ∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩非零實(shí)根,x1+x2=a,x1x2=-2,

          從而|x1-x2|==.

          ∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.

          要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,

          當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對任意t∈[-1,1]恒成立,

          即m2+tm-2≥0對任意t∈[-1,1]恒成立.        ②

          設(shè)g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),

          方法一:

          ②    g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0,

                         

          m≥2或m≤-2.

          所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.

          方法二:

          當(dāng)m=0時(shí),②顯然不成立;

          當(dāng)m≠0時(shí),

            m>0, g(-1)=m2-m-2≥0   或m<0,g(1)=m2+m-2≥0

           m≥2或m≤-2.

          所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.

           

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          (04年福建卷文)(12分)

          甲、乙兩人參加一次英語口語考試,已知在備選的10道試題中,甲能答對其中的6題,乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試,至少答對2題才算合格.

          (Ⅰ)分別求甲、乙兩人考試合格的概率;

          (Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

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                                                                                                                                        (    )

                 A.28                       B.38                       C.1或38                D.1或28

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