Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）若，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得成立？并給予證明；
（3）結(jié)合定積分的幾何意義說明（2）的幾何意義．

Answer 1

解：（1）∵，∴…（3分）
（2）
設(shè)，∴…（5分）
下面證明a∈[1，t]：
設(shè)g（t）=t-1-lnt（t＞1）則
∴g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1時(shí)lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）

設(shè)h（t）=t-1-tlnt（t＞1）則
∴h（t）在（1，+∞）上為減函數(shù)，當(dāng)t＞1時(shí)h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1時(shí)lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
綜上：當(dāng)t＞1時(shí)，存在a∈[1，t]使得成立．…（11分）
（3）連續(xù)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的定積分等于該區(qū)間上某個(gè)點(diǎn)x₀的函數(shù)值f（x₀）與該區(qū)間長度的積，即其中x₀∈[a，b]…（14分）
分析：（1）求出原函數(shù)，可得定積分，即可求得a的值；
（2）先求出定積分，再構(gòu)建函數(shù)，即可證明；
（3）連續(xù)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的定積分等于該區(qū)間上某個(gè)點(diǎn)x₀的函數(shù)值f（x₀）與該區(qū)間長度的積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查定積分，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．