Question

如圖，

ADB

為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（2）過(guò)D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)

DM

DN

=λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，?根據(jù)|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

5

判斷出曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓．設(shè)其長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，則首先可知a，根據(jù)|AB|=4求得c，則b可求得，進(jìn)而求得橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l的方程代入橢圓方程，消去y，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，根據(jù)題意可知

DM

DN

=

x1

x2

=λ，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁+x₂的表達(dá)式，將x₁=λx₂代入兩式相除，根據(jù)k的范圍求得λ的范圍，進(jìn)而根據(jù)M在D、N中間，判斷出λ＜1，綜合可得答案．

解答：解：（1）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，?
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+12

=2

5

＞|AB|=4．
∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓．
設(shè)其長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，則2a=2

5

，
∴a=

5

，c=2，b=1．
∴曲線C的方程為

x2

5

+y²=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
代入

x2

5

+y²=1，得（1+5k²）x²+20kx+15=0．
△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k²＞

3

5

．
由圖可知

DM

DN

=

x1

x2

=λ
由韋達(dá)定理得

x1+x2=- 20k 1+5k2 x1•x2= 15 1+5k2

，將x₁=λx₂代入得

(1+λ)2x22= 400k2 (1+5k2)2 λx22= 15 1+5k2

兩式相除得

(1+λ)2

λ

=

400k2

15(1+5k2)

=

80

3(5+ 1 k2 )

∵k2＞

3

5

，∴0＜

1

k2

＜

5

3

，∴5＜

1

k2+5

＜

20

3

，即4＜

80

3( 1 k2 +5)

＜

16

3

∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

，∵λ=

DM

DN

＞0，∴解得

1

3

＜λ＜3①
∵λ=

x1

x2

=

DM

DN

，M在D、N中間，
∴λ＜1②
又∵當(dāng)k不存在時(shí)，顯然λ=

DM

DN

=

1

3

（此時(shí)直線l與y軸重合）
綜合得：

1

3

≤λ＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大，故此類(lèi)問(wèn)題能有效地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，是高考題常考的類(lèi)型．