Question

已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為y=±2x．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，證明：AF₁⊥AF₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，雙曲線C的一條漸近線方程為 y=±2x，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入方程，列出關(guān)于a，b的方程，解出a，b，進(jìn)而可得答案．
（2）由（1）得，，，從而以F₁F₂為直徑的圓的方程，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程x²+y²=5，得出點(diǎn)A在以F₁F₂為直徑的圓上，最終得出AF₁⊥AF₂．
解答：（1）解：依題意…（3分）      
解得 …（5分）
所以雙曲線的方程為．…（6分）
（2）由（1）得，，，
從而以F₁F₂為直徑的圓的方程是x²+y²=5．…（9分）
因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程x²+y²=5，
故點(diǎn)A在以F₁F₂為直徑的圓上，所以AF₁⊥AF₂．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及雙曲線的方程與其漸近線的方程之間的關(guān)系，要求學(xué)生熟練掌握，注意題意要求是標(biāo)準(zhǔn)方程，答案必須寫成標(biāo)準(zhǔn)方程的形式．