Question

【題目】某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃設(shè)計(jì)建造一條2000米長(zhǎng)的水渠，其橫斷面如圖所示.其中，底部是半徑為1米的圓弧，上部是有一定傾角的線段與，渠深為米，且圓弧的圓心為O在上，，，，.據(jù)測(cè)算，水渠底部曲面每平方米的造價(jià)為百元，上部矩形壁面每平方米的造價(jià)為1百元，其他費(fèi)用忽略不計(jì).設(shè)，.

（1）試用表示水渠建造的總費(fèi)用（單位：百元）；

（2）試確定的值，使得建造總費(fèi)用最低.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）過(guò)B點(diǎn)作于點(diǎn)E，設(shè)與交于點(diǎn)F，則結(jié)合題設(shè)條件有，，所以所以計(jì)算可得；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析其單調(diào)性與極值即可得解.

解：（1）因?yàn)榈撞繄A弧所在的圓的半徑為1，，

所以弧長(zhǎng)，

過(guò)B點(diǎn)作于點(diǎn)E，設(shè)與交于點(diǎn)F，

則結(jié)合題設(shè)條件有，

所以

所以，

所以，.

（2）

，.

令，則，因?yàn)?/span>，則

		極小值

當(dāng)時(shí)，取得極小值，即最小值，最小值為（百元）.

答：當(dāng)取時(shí)，建造總費(fèi)用最低.