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        <strong id="o5kww"><u id="o5kww"></u></strong>
        1. 已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的左、右焦點(diǎn),半焦距為c,直線x=-
          a2
          c
          與x軸的交點(diǎn)為N,滿足
          F1F2
          =2
          NF1
          ,|
          F1F2
          |=2
          ,設(shè)A、B是上半橢圓上滿足
          NA
          NB
          的兩點(diǎn),其中λ∈[
          1
          5
          ,
          1
          3
          ]

          (1)求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍;
          (2)過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作橢圓的切線,兩切線相交于一點(diǎn)P,試問(wèn):點(diǎn)P是否恒在某定直線上運(yùn)動(dòng),請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)依據(jù)題意聯(lián)立方程求得a,b,則拖得方程可得.根據(jù)
          NA
          NB
          判斷出A,B,N三點(diǎn)共線,進(jìn)而設(shè)出直線AB的方程,與橢圓的方程聯(lián)立消去x,根據(jù)判別式大于0求得k的范圍,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達(dá)定理,可表示出y1+y2和y1y2,利用
          NA
          NB
          求得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2),聯(lián)立方程組消去y2,求得λ和k的關(guān)系,令φ(λ)=
          (1+λ)2
          λ
          進(jìn)而進(jìn)行求導(dǎo),推斷函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)λ的范圍求得k的范圍.
          (2)設(shè)出P的坐標(biāo),進(jìn)而求得PA的方程,把點(diǎn)A代入,同時(shí)代入橢圓的方程,推斷出直線AB的方程,根據(jù)其過(guò)定點(diǎn)求得x0,進(jìn)而推斷出點(diǎn)P恒在直線x=-1上運(yùn)動(dòng).
          解答:解:(1)由于
          F1F2
          =2
          NF1
          ,|
          F1F2
          |=2
          ,
          2c=
          F1F2
          |=2
          a2
          c
          -1=
          NF1
          |=1
          a2=b2+c2.

          解得a2=2,b2=1,從而所求橢圓的方程為
          x2
          2
          +y2
          =1.
          NA
          NB
          ,∴A,B,N
          三點(diǎn)共線,而點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,0).
          設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2),其中k為直線AB的斜率,依條件知k≠0.
          y=k(x+2)
          x2
          2
          +y2=1
          消去x得(
          1
          k
          y-2)2+2y2=2
          ,即
          2k2+1
          k2
          y2-
          4
          k
          y+2=0

          根據(jù)條件可知
          △=(
          4
          k
          )2-8•
          2k2+1
          k2
          >0
          k≠0.
          解得0<|k|<
          2
          2
          ,依題意取0<k<
          2
          2

          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達(dá)定理,得y1+y2=
          4k
          2k2+1
          ,y1y2=
          2k2
          2k2+1
          ,
          又由
          NA
          NB
          ,得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2
          ,∴
          x1+2=λ(x2+2)
          y1y2.
          從而
          x1+2=λ(x2+2)
          y1y2.

          從而
          (1+λ)y2=
          4k
          2k2+1
          λ
          y
          2
          2
          =
          2k2
          2k2+1
          .
          消去y2
          (1+λ)2
          λ
          =
          8
          2k2+1

          φ(λ)=
          (1+λ)2
          λ
          ,λ∈[
          1
          5
          1
          3
          ]
          ,則φ′(λ)=(λ+
          1
          λ
          +2)′=1-
          1
          λ2
          =
          λ2-1
          λ2

          由于
          1
          5
          ≤λ≤
          1
          3
          ,所以φ'(λ)<0.
          ∴φ(λ)是區(qū)間[
          1
          5
          ,
          1
          3
          ]
          上的減函數(shù),從而φ(
          1
          3
          )≤φ(λ)≤φ(
          1
          5
          )
          ,
          16
          3
          ≤φ(λ)≤
          36
          5
          ,∴
          16
          3
          8
          2k2+1
          36
          5
          ,解得
          2
          6
          ≤|k|≤
          1
          2
          ,而0<k<
          2
          2
          ,∴
          2
          6
          ≤k≤
          1
          2

          故直線AB的斜率的取值范圍是[
          2
          6
          1
          2
          ]

          (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則可得切線PA的方程是y-y0=-
          x1
          2y1
          (x-x0)
          ,
          而點(diǎn)A(x1,y1)在此切線上,有y1-y0=-
          x1
          2y1
          (x1-x0)
          即x0x1+2y0y1=x12+2y12,
          又∵A在橢圓上,∴有x0x1+2y0y=2,①同理可得x0x2+2y0y2=2.②
          根據(jù)①和②可知直線AB的方程為,x0x+2y0y=2,而直線AB過(guò)定點(diǎn)N(-2,0),∴-2x0=2?x0=-1,
          因此,點(diǎn)P恒在直線x=-1上運(yùn)動(dòng).
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容,問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等,而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大,故此類問(wèn)題能有效地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,平時(shí)應(yīng)作為重點(diǎn)來(lái)復(fù)習(xí)訓(xùn)練.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•湖南)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:
          x25
          +y2=1
          的左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).
          (Ⅰ)求圓C的方程;
          (Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長(zhǎng)分別為a,b.當(dāng)ab最大時(shí),求直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•青島二模)已知F1、F2分別是雙曲線C:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1
          (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上的一點(diǎn),
          PF2
          F1F2
          ,且|
          PF1
          |=
          2
          |
          PF2
          |
          ,則雙曲線的離心率為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1 (a>0, b>0)
          的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M,若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),且橢圓C的離心率e=
          1
          2
          ,F(xiàn)1也是拋物線C1:y2=-4x的焦點(diǎn).
          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn),且2
          DF2
          =
          F2E
          ,點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G,求直線GD的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          的左,右焦點(diǎn),P是雙曲線的上一點(diǎn),若
          PF1
          PF2
          =0
          |
          PF1
          |•|
          PF2
          |=3ab
          ,則雙曲線的離心率是
           

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