Question

已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，對于任意a，b∈R且當(dāng)a+b≠0時(shí)，都滿足

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）求證：f（x）在R上是的增函數(shù)；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在R上是的增函數(shù)；
（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）不妨設(shè)x₁＜x₂，由

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
得

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
又f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
而x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0?f（mt²+1）＞f（mt-1），
∵f（x）在R上是增函數(shù)，
∴對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立
即mt²+1＞mt-1對任意的t∈R恒成立
即mt²-mt+2＞0對任意的t∈R恒成立．
當(dāng)m=0時(shí)，不等式即為2＞0恒成立，合題意； 
當(dāng)m≠0時(shí)，有

m＞0 △=m2-8m＜0

，
即0＜m＜8
綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m＜8．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．