Question

給出下列命題：
①y=

x2+3

x2+2

的最小值是2；
②若a＞b，則

1

a

＜

1

b

成立的充要條件是ab＞0；
③若不等式x²+ax-4＜0對任意x∈（-1，1）恒成立，則a的取值范圍為（-3，3）．
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．
真命題的序號是

②④

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①利用基本不等式進行判斷．②利用不等式的性質(zhì)進行判斷．③利用不等式恒成立的性質(zhì)判斷．④利用面面垂直的性質(zhì)判斷．

解答：解：①y=

x2+3

x2+2

=

x2+2+1

x2+2

=

x2+2

x2+2

+

1

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)

x2+2

=

1

x2+2

取等號，即x²+2=1，方程不成立，∴①錯誤．
②由

1

a

＜

1

b

得

1

a

-

1

b

=

b-a

ab

＜0，∴當(dāng)a＞b時，ab＞0，∴②正確．
③由x²+ax-4＜0得ax＜4-x²，當(dāng)x∈（0，1）時，不等式等價為a＜

4-x2

x

=

4

x

-x，則y=

4

x

-x在（0，1）上單調(diào)遞減，∴

4

x

-x＞4-1=3，此時a≤3，∴③錯誤．
④根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，可知與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直，∴④正確．
故答案為：②④．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．