Question

在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，已知向量

m

=(b，c-

2

a)，

n

=（cosC，cosB），且

m

⊥

n

．（1）求角B的大��；（2）求函數(shù)•f(x)=2sin2(B+x)-

3

cos2x(x∈R)的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量垂直時(shí)滿足的條件數(shù)量積為0，變形后利用正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，當(dāng)sinA不等于0時(shí)，得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由（1）求出的B代入f（x），利用二倍角的余弦函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

，得

m

•

n

=bcosC+(c- 

2

a)cosB=0，即bcosC+ccosB=

2

acosB，
由正弦定理得：sinBcosC+cosBsinC=

2

sinAcosB，即sin(B+C)=

2

sinAcosB，
∵sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，∴sinA=

2

sinAcosB，
由sinA≠O，得cosB=

2

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

4

；
（2）由（1），得f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x=1+2(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)=1+2sin(2x-

π

3

)，
∵x∈R，-1≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴-1≤f（x）≤3，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，3]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握平面向量垂直時(shí)滿足的條件，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．