Question

已知E、F是x軸上的點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為線段EF的中點(diǎn)，G、P是坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FG上，=10，=6，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）A、B為軌跡C上任意兩點(diǎn)，且，M為AB的中點(diǎn)，求△OEM面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取EG的中點(diǎn)為H，利用推出|PE|+|PF|=|GF|=10＞|EF|=6P點(diǎn)的軌跡是以E、F為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓
設(shè)其軌跡方程為，求出a，c，b解得即可．
（2）利用
推出A、B、E三點(diǎn)共線，設(shè)AB所在直線方程為x=my-3，結(jié)合韋達(dá)定理，求出的表達(dá)式利用基本不等式，求出S_△DEM最大值為．
解答：解：（1）取EG的中點(diǎn)為H，則∴PH⊥GE∴PH是EG的垂直平分線（2分）∴|PE|=|PG|∴|PE|+|PF|=|GF|=10＞|EF|=6P點(diǎn)的軌跡是以E、F為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓（4分）
設(shè)其軌跡方程為，則2a=10，a=5，2c=6，c=3，b²=a²-c²=16∴（5分）
（2）∵
∴
∴∴A、B、E三點(diǎn)共線
∵E（-3，0）設(shè)AB所在直線方程為x=my-3
整理關(guān)于y的方程為：（16m²+25）y²-96my-256=0（△＞0恒成立）
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（9分）
∴===（10分）
∴當(dāng)16|m|=，即時(shí)，，S_△DEM最大值為．（12分）
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積，三角形的面積公式，韋達(dá)定理，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，常考題型．