Question

給定a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N*），定義乘積a₁•a₂…a_k為整數(shù)的k（k∈N*）叫做“理想數(shù)”，則區(qū)間[1，2008]內(nèi)的所有理想數(shù)的和為     ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)換底公式：，把a(bǔ)_n=log_（n+1）（n+2）代入a₁•a₂…a_k并且化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為為整數(shù)，即k+2=2^m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得區(qū)間[1，2008]內(nèi)的所有理想數(shù)的和．
解答：解：換底公式：．
為整數(shù)，
∴k+2=2^m，m∈N*．
k分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和為2²+2³++2¹⁰-18=2026．
故答案為：2026．
點(diǎn)評(píng)：考查數(shù)列的綜合應(yīng)用及對(duì)數(shù)的換底公式，把a(bǔ)₁•a₂…a_k并且化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的運(yùn)算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．