Question

（2013•潮州二模）已知橢圓C的兩個焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點A(1，

2

2

)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點B（2，0），設點P是橢圓C上任一點，求

PF

1•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用橢圓定義可求2a，進而可求a，結合已知c，利用b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓方程
（2）先設P(x，y).

PF1

=(-1-x，-y)，

PB

=(2-x，-y)，利用向量的數(shù)量積的坐標表示可求

PF

1•

PB

，結合點P在橢圓上及橢圓的性質可求

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)…（1分）
由橢圓定義，2a=|AF1|+|AF2|=

(1+1)2+( 2 2 )2

+

(1-1)2+( 2 2 )2

=2

2

…（4分）
∴a=

2

，∵c=1，∴b²=a²-c²=1．…（5分）
故所求的橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（6分）
（2）設P(x，y).

PF1

=(-1-x，-y)，

PB

=(2-x，-y)…（7分）
∴

PF1

•

PB

=(-1-x，-y)•(2-x，-y)=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2…（9分）
∵點P在橢圓上，
∴y2=1-

x2

2

…（10分）
∴

PF1

•

PB

=

1

2

x2-x-1=

1

2

(x-1)2-

3

2

∵-

2

≤x≤

2

…（12分）
∴x=1，

PF1

•

PB

有最小值-

3

2

；
x=-

2

，

PF1

•

PB

有最大值

1

2

×(-

2

)2+

2

-1=

2

∴-

3

2

≤

PF1

•

PB

≤

2

，
∴

PF1

•

PB

的范圍是[-

3

2

，

2

]…（14分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的定義及性質求解橢圓方程及橢圓性質的簡單應用．