Question

設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值為M，最小正周期為T．
（1）求M、T；
（2）若有10個互不相等的正數(shù)x_i滿足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式前兩項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第三項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）根據(jù)x為R，利用正弦函數(shù)的值域確定出函數(shù)的最大值，得到M的值；找出ω的值，代入周期公式，求出函數(shù)的最小正周期，確定出T；
（2）由求出的M及f（x）解析式，根據(jù)f（x_i）=M，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，再由0＜x_i＜10π，確定出k的取值，列舉出所求式子的各項，計算后即可求出值．

解答：解：依題意得：f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
（1）∵x∈R，∴f（x）_max=M=2，最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由f（x_i）=M=2得：2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x_i=kπ+

π

6

，k∈Z，
又0＜x_i＜10π，∴k=0，1，2，…，9，
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（1+2+…+9）π+10×

π

6

=

140

3

π．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角形函數(shù)的周期性及其求法，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．