Question

如圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖．
（Ⅰ）若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF⊥面PCD；
（Ⅱ）證明BD∥面PEC；
（Ⅲ）求面PEC與面PCD所成的二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由幾何體的三視圖確定幾何體的形狀，證明AF⊥面PCD，利用線面垂直的判定定理，即證CD⊥AF，PD⊥AF；
（Ⅱ）取PC的中點(diǎn)M，AC與BD的交點(diǎn)為N，連接MN，EM，證明四邊形BEMN為平行四邊形，可證BD∥面PEC；
（Ⅲ）分別以BC，BA，BE為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面PCD的一個(gè)法向量

FA

=（-2，0，-2），平面PEC的法向量

n

=(1，-1，2)，利用向量的數(shù)量積公式可求結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，幾何體為底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，且PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA=2EB=4．
∵PA=AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，∴PD⊥AF，
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，
∴CD⊥面ADP，
∵AF?面ADP，∴CD⊥AF．
∵CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD．-------------（4分）
（Ⅱ）取PC的中點(diǎn)M，AC與BD的交點(diǎn)為N，連接MN，EM
∴MN=

1

2

PA，MN∥PA，
∴MN=EB，MN∥EB，故四邊形BEMN為平行四邊形，
∴EM∥BN，又EM?面PEC，∴BD∥面PEC．-------------（7分）
（Ⅲ）分別以BC，BA，BE為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（ 4，0，0），D（4，4，0），E（0，0，2），A（0，4，0），P（0，4，4），
∵F為PD的中點(diǎn)，∴F（2，4，2）．
∵AF⊥面PCD，∴

FA

為面PCD的一個(gè)法向量，

FA

=（-2，0，-2），設(shè)平面PEC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • CE =0 n • CP  =0

，∴

z=2x -x+y+z=0

令x=1，∴

n

=(1，-1，2)，-------------（10分）
∴cos＜

FA

，

n

＞ =

FA • n

| FA || n |

=-

3

2

∴

FA

與

n

的夾角為

5π

6

∴面PEC與面PDC所成的二面角（銳角）的余弦值為

3

2

．-------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、平行的判定定理，正確求出平面的法向量．