Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)在上的最小值；
（3）試證明：.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域求出，然后將代入函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的減區(qū)間與增區(qū)間 ；（2）求出，并求出方程的，對(duì)的符號(hào)以及是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在上的最小值；（3）利用分析法將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后令，將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在，利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行證明.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023458251566.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)，，則，
解不等式，得；解不等式，得，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在處取得最小值，即；
當(dāng)時(shí)，令，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在處取得最小值，即；
當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，
即，
綜上所述，；
（3）要證不等式，即證不等式，即證不等式，
即證不等式，
令，則 則，故原不等式等價(jià)于，
即不等式在上恒成立，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
故有，因此不等式在上恒成立，故原不等式得證，
即對(duì)任意，.