Question

已知橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，雙曲線D與橢圓有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P為它們的一個(gè)交點(diǎn)，若

PF1

•

PF2

=0，則雙曲線的離心率e為（　�。�

• A．

  5

  2

• B．

  6

  2

• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的定義得到：|PF₁|+|PF₂|=4…①，再由數(shù)量積滿足

PF1

•

PF2

=0，得到：|PF₁|²+|PF₂|²=12…②．由①②聯(lián)解可得||PF₁|-|PF₂||=2

2

，得到雙曲線的實(shí)軸2a'=2

2

，最后根據(jù)離心率的定義可得所求雙曲線的離心率．

解答：解：∵橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，
∴a²=4，b²=1，可得c²=a²-b²=3，所以a=2，c=

3

因此，橢圓的長(zhǎng)軸2a=4，焦距為2c=2

3

∵點(diǎn)P在橢圓上，滿足

PF1

•

PF2

=0，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，…①
且PF₁⊥PF₂，可得|PF₁|²+|PF₂|²=4c²=12，…②
①②聯(lián)解，得||PF₁|-|PF₂||=2

2

∵點(diǎn)P在雙曲線上，
∴雙曲線的實(shí)軸2a'=2

2

，
∵雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，
∴雙曲線的焦距為2c=2

3

，故雙曲線的離心率e=

2c

2a′

=

6

2

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線與已知橢圓共焦點(diǎn)，求雙曲線的離心率，著重考查了橢圓、雙曲線的基本概念和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．