Question

如圖，設(shè)A(

3

2

，

1

2

)是單位圓上一點，一個動點從點A出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.2秒時，動點到達點B，t秒時動點到達點P．設(shè)P（x，y），其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=sin(ωt+φ)(-

π

2

＜φ＜

π

2

)．
（1）求點B的坐標(biāo)，并求f（t）；
（2）若0≤t≤6，求

AP

•

AB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)定義求出函數(shù)f（x）的表達式，然后求點B的坐標(biāo)，并求f（t）；
（2）若0≤t≤6，利用向量數(shù)量積的定義即可求

AP

•

AB

的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)t=2時，∠AOB=2×

2π

12

=

π

3

，
∴∠XOB=

π

2

∴，點B的坐標(biāo)是（0，1）…（2分）
又t秒時，∠XOP=

π

6

+

π

6

t…（4分）
∴y=sin(

π

6

t+

π

6

)，(t≥0)．…（6分）
（2）由A(

3

2

，

1

2

)，B（0，1），得

AB

=(-

3

2

，

1

2

)，
又P(cos(

π

6

t+

π

6

)，sin(

π

6

t+

π

6

))，
∴

AP

=(cos(

π

6

t+

π

6

)-

3

2

，sin(

π

6

t+

π

6

)-

1

2

)，…（8分）
∴

AP

•

AB

=

3

4

-

3

2

cos(

π

6

t+

π

6

)-

1

4

+

1

2

sin(

π

6

t+

π

6

)=

1

2

+sin(

π

6

t+

π

6

-

π

3

)=

1

2

+sin(

π

6

t-

π

6

)…（10分）
∵0≤t≤6，
∴

π

6

t-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(

π

6

t-

π

6

)∈[-

1

2

，1]…（12分）
∴，

AP

•

AB

的取值范圍是[0，

3

2

]…（14分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及平面向量的數(shù)量積運算，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的運算能力．