Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）。

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)M、N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個動點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為，直線MO、NO與拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，求證：動直線AB恒過一個定點(diǎn)。

 

Answer 1

【答案】

(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，

所以拋物線方程為

（2）直線MO的方程：，與聯(lián)立解得A點(diǎn)坐標(biāo)，B點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線AB的方程為：，說明直線AB恒過定點(diǎn)（1,0）。

【解析】

試題分析：(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，

所以拋物線方程為

（2）拋物線C的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，其中，

直線MO的方程：，將與聯(lián)立解得A點(diǎn)坐標(biāo)。

同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，則直線AB的方程為：

整理得，故直線AB恒過定點(diǎn)（1,0）。

考點(diǎn)：本題主要考查直線方程，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時，主要運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)。（2）證明直線過定點(diǎn)問題時，巧妙地假設(shè)，并應(yīng)用假設(shè)字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)，值得學(xué)習(xí)。