Question

已知點A、B的坐標分別是（0，-1），（0，1），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為-

1

2

．
（Ⅰ）求點M的軌跡T的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點E（-1，0）且不與坐標軸垂直的直線交軌跡T于C、D兩點，若線段CD的垂直平分線與x軸交于點F，求點F橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由已知條件條件推導出

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

，由此能求出動點M的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)直線CD的方程為y=k（x+1），k≠0，代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，記C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點N（x₀，y₀），由已知條件推導出CD的垂直平分線的方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀），由此能求出點F橫坐標的坐標的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），∵k_AM•k_BM=-

1

2

，
∴

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

，
整理，得動點M的軌跡方程為

x2

2

+y2=1，（x≠0）．
（Ⅱ）設(shè)直線CD的方程為y=k（x+1），k≠0，
代入

x2

2

+y2=1，
整理，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∵直線CD過橢圓的左焦點E，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
記C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點N（x₀，y₀），
則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
∴x0=-

2k2

2k2+1

，y₀=k（x₀+1）=

k

2k2+1

，
∴CD的垂直平分線的方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀），
令y=0，得
x_F=x₀+ky₀
=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

，
∴點F橫坐標的坐標的取值范圍為（-

1

2

，0）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查點的橫坐標的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．