Question

（本題滿分14分）已知橢圓的中心為坐標原點，短軸長為2，一條準線方程為l：．

⑴ 求橢圓的標準方程；⑵ 設O為坐標原點，F是橢圓的右焦點，點M是直線l上的動點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值．

Answer 1

（本題滿分14分）

已知橢圓的中心為坐標原點，短軸長為2，一條準線方程為l：．

⑴ 求橢圓的標準方程；

⑵ 設O為坐標原點，F是橢圓的右焦點，點M是直線l上的動點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值．

解：⑴∵橢圓C的短軸長為2，橢圓C的一條準線為l：，

∴不妨設橢圓C的方程為．（2分）∴，（ 4分）即．（5分）

∴橢圓C的方程為．（6分）

    ⑵ F（1，0），右準線為l：， 設，

     則直線FN的斜率為，直線ON的斜率為，（8分）

     ∵FN⊥OM，∴直線OM的斜率為，（9分）

    ∴直線OM的方程為：，點M的坐標為．（11分）

    ∴直線MN的斜率為．（12分）

    ∵MN⊥ON，∴，    ∴，

∴，即．（13分）∴為定值．（14分）

說明:若學生用平面幾何知識（圓冪定理或相似形均可）也得分，設垂足為P，準線l與x軸交于Q，則有，又，所以為定值．