Question

已知f(x)=log₃,x∈(0,+∞)時,是否存在實(shí)數(shù)a、b,使f(x)同時滿足下列兩個條件:①在(0,1)上是減函數(shù),在［1,+∞)上是增函數(shù);②f(x)的最小值是1.若存在,求出a、b;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：∵f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在［1,+∞)上是增函數(shù),

∴x=1時,f(x)最小,log₃=1.

∴a+b=2.

    設(shè)0＜x₁＜x₂≤1,則f(x₁)＞f(x₂),即＞0恒成立.

    又x₁-x₂＜0,∴x₁x₂-b＜0恒成立,則b≥1.

    設(shè)1＜x₃＜x₄＜+∞,則f(x₃)＜f(x₄)恒成立,

    即＜0恒成立.

    因?yàn)閤₃-x₄＜0,所以x₃x₄＞b恒成立,則b≤1.

    綜上,得b=1,a=1.