Question

（2012•汕頭二模）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（

πx

6

-

π

4

）+2

2

cos²

πx

12

-

2

．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x∈[0，

11

2

]時，求函數(shù)y=g（x）的最小值與相應(yīng)的自變量x的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式第一項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）由函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，得到g（x）=f（2-x），求出g（x）解析式，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，進而求出g（x）的最小值，以及此時x的值．

解答：解：（1）f（x）=sin

πx

6

cos

π

4

-cos

πx

6

sin

π

4

+

2

（2cos²

πx

12

-1）=

2

2

（sin

πx

6

-cos

πx

6

）+

2

cos

πx

6

=

2

2

sin

πx

6

+

2

2

cos

πx

6

=sin（

πx

6

+

π

4

），
∵ω=

π

6

，
∴T=12；
（2）由題意得：g（x）=f（2-x）=sin[

π

6

（2-x）+

π

4

]=sin（-

πx

6

+

7π

12

）=-sin（

πx

6

-

7π

12

），
∵0≤x≤

11

2

，∴-

7π

12

≤

πx

6

-

7π

12

≤

π

3

，
∴g（x）_min=-

3

2

，此時

πx

6

-

7π

12

=

π

3

，即x=

11

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．