Question

(2007北京，20)已知集合，其中．由A中的元素構成兩個相應的集合：；，其中(a，b)是有序數(shù)對．集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n．

若對于任意的，總有，則稱集合A具有性質P．

(1)檢驗集合{0，l，2，3}與{－1，2，3}是否具有性質P，并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合S和T；

(2)對任何具有性質P的集合A，證明：；

(3)判斷m和n的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)集合{0，1，2，3}不具有性質P． 集合{－1，2，3}具有性質P，其相應的集合S和T是 S={(－l，3)，(3，－1)}， T={(2，－1)，(2，3)}． (2)首先，由A中元素構成的有序數(shù)對共有個．因為，所以； 又因為當時，，所以當時，，從而，集合T中元素的個數(shù)最多為，即． (3)m=n．證明如下： ①對于，根據(jù)定義，，，且，從而． 如果(a，b)與(c，d)是S的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立， 從而a＋b=c＋d與b=d中也至少有一個不成立，故(a＋b，b)與(c＋d，d)也是T的不同元素． 可見，S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù)，即m≤n． ②對于，根據(jù)定義，，，且，從而． 如果(a，b)與(c，d)是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，從而a－b=c－d與b=d中也至少有一個不成立，故(a－b，b)與(c－d，d)也是S的不同元素． 可見，T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù)，即n≤m． 由①②可知，m=n．

提示：

剖析：本題考查集合的運算與性質、不等式的證明以及對新知識的理解能力．