Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

1+x2

（a≠0）．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性； 
（2）當a=1時，用定義證明函數(shù)在[-1，1]上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)在，[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）利用f（-x）=

-ax

1+(-x)2

=-

ax

1+x2

=-f（x）可證f（x）在R上為奇函數(shù)；
（2）任取-1≤x₁＜x₂≤1則f（x₁）-f（x₂）=

(1-x1x2)(x1-x2)

(1+x22)(1+x12)

＜0，從而可證f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)；
（3）由①當a＞0時，f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，可求其最值；②當a＜0時，f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，可求其最值．

解答：證明：（1）由題意，函數(shù)f（x）的定義域為R，
對任意x∈R都有f（-x）=

-ax

1+(-x)2

=-

ax

1+x2

=-f（x），
故f（x）在R上為奇函數(shù)；
（2）任取-1≤x₁＜x₂≤1則f（x₁）-f（x₂）=

(1-x1x2)(x1-x2)

(1+x22)(1+x12)

∵-1≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)；
（3）由（1）（2）可知：
①當a＞0時，f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，故f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=

a

2

，最小值為f（-1）=-

a

2

，
②當a＜0時，f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，故f（x）在[-1，1]上的最大值為f（-1）=-

a

2

，最小值為f（1）=

a

2

，

點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，考查化歸思想與分類討論思想的運用，屬于難題．