Question

如圖，Rt△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b（a＞b），A與B兩點(diǎn)分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上滑動(dòng)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程．

Answer 1

思路分析：由已知∠ACB是直角，A和B兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)時(shí)，∠AOB也是直角，由平面幾何知識(shí)，A、C、B、O四點(diǎn)共圓，則有∠ABC=∠AOC，這就是點(diǎn)C滿(mǎn)足的幾何條件．

由此列出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)適合的方程．

解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y），連結(jié)CO，

由∠ACB=∠AOB=90°，所以A、O、B、C四點(diǎn)共圓．

從而∠AOC=∠ABC．由tan∠ABC=，tan∠AOC=，有即y=x,

(注意到方程表示的是過(guò)原點(diǎn)、斜率為的一條直線，而題目中的A與B均在兩坐標(biāo)軸的正半軸上滑動(dòng)，由于a、b為常數(shù)，故C點(diǎn)的軌跡不會(huì)是一條直線，而是直線的一部分．我們可考察A與B兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的極端位置，確定C點(diǎn)坐標(biāo)的范圍)

如圖，當(dāng)點(diǎn)A與原點(diǎn)重合時(shí)，

S_△ABC=·x=·x，所以x=．

如圖，當(dāng)點(diǎn)B與原點(diǎn)重合時(shí)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=BD．

由射影定理，BC²=BD·AB,，即

a²=x·,

有x=．由已知a＞b，所以．

故C點(diǎn)的軌跡方程為y=(）．