Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個焦點，PQ是經(jīng)過F₁且垂直于實軸的弦，若△PQF₂是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為

1+

2

．

Answer 1

分析：設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，把x=-c代入雙曲線的方程，得y=±

b2

a

，由題設知2c=

b2

a

，由此能求出雙曲線的離心率．

解答：解：設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個焦點，PQ是經(jīng)過F₁且垂直于實軸的弦，△PQF₂是等腰直角三角形，
把x=-c代入雙曲線的方程，得y=±

b2

a

，
∴2c=

b2

a

，即2ac=b²，
∴2ac=c²-a²，解得

c

a

=1+

2

，

c

a

=1-

2

（舍去），
∴雙曲線的離心率為1+

2

．
故答案為：1+

2

．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，解題時要認真審題，合理取舍，注意合理地運用等價轉化思想．