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        1. 如圖,A為橢圓(a>b>0)上的一個(gè)動點(diǎn),弦AB,AC分別過焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2.當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),恰好|AF1|:|AF2|=3:1.
          (1)求該橢圓的離心率;
          (2)設(shè),,試判斷λ12是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.

          【答案】分析:(1)由|AF1|:|AF2|=3:1,及橢圓定義|AF1|+|AF2|=2a,可求AF1,AF2,在在Rt△AF1F2中,利用勾股定理可求
          (2)由(1)可得b=c.橢圓方程為,設(shè)A(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2),
          ①若直線AC⊥x軸容易求解②若直線AC的斜率存在,則直線AC方程為代入橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可求,從而可求,同理可得,代入可求
          解答:解:(1)當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),|AF1|:|AF2|=3:1,由|AF1|+|AF2|=2a,
          在Rt△AF1F2中,|AF1|2=|AF2|2+(2c)2
          解得 e=.…(5分)
          (2)由e=,則,b=c.
          焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-b,0),F(xiàn)2(b,0),則橢圓方程為,
          化簡有x2+2y2=2b2
          設(shè)A(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2),
          ①若直線AC⊥x軸,x=b,λ2=1,
          ∴λ1+λ2=6.   …(8分)
          ②若直線AC的斜率存在,則直線AC方程為
          代入橢圓方程有(3b2-2bx)y2+2by(x-b)y-b2y2=0.
          由韋達(dá)定理得:,∴…(10分)
          所以
          同理可得…(12分)
          故λ1+λ2=.綜上所述:λ1+λ2是定值6.…(14分)
          點(diǎn)評:本題主要考查了利用橢圓得性質(zhì)及橢圓的定義求解橢圓的方程,直線與橢圓的相交中方程思想的應(yīng)用,這是處理直線與橢圓位置關(guān)系的通法,但要注意基本運(yùn)算的考查
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,A為橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          上的一個(gè)動點(diǎn),弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F1、F2,當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),AF1=3AF2
          (1)求橢圓的離心率;
          (2)設(shè)
          AF1
          =λ1
          F1B
           ,   
          AF2
          =λ2
          F2C
          ,證明:當(dāng)A點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí),λ12是定值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)(A題)如圖,在橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          8
          =1(a>0)中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),B,D分別為橢圓的左右頂點(diǎn),A為橢圓在第一象限內(nèi)弧上的任意一點(diǎn),直線AF1交y軸于點(diǎn)E,且點(diǎn)F1,F(xiàn)2三等分線段BD.
          (1)若四邊形EBCF2為平行四邊形,求點(diǎn)C的坐標(biāo);
          (2)設(shè)m=
          S△AF1O
          S△AEO
          ,n=
          S△CF1O
          S△CEO
          ,求m+n的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,A為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F1F2,當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),恰好有AF1AF2=3:1.

          (Ⅰ) 求橢圓的離心率;(Ⅱ) 設(shè).

          ①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),求的值;

          ②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)時(shí),試判斷是否

          為定值?若是,請證明;若不是,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,A為橢圓數(shù)學(xué)公式(a>b>0)上的一個(gè)動點(diǎn),弦AB,AC分別過焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2.當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),恰好|AF1|:|AF2|=3:1.
          (1)求該橢圓的離心率;
          (2)設(shè)數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,試判斷λ12是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案