Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，為常數(shù)．
（1）  求函數(shù)的定義域；
（2）  若時(shí)，對(duì)于，比較與的大小；
（3）  討論方程解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解:（1）由，得：，             
∴函數(shù)的定義域．              ……………………………………3分
（2）令，
則時(shí)，。
又
（僅在時(shí)，）
∴在內(nèi)是增函數(shù)，                   ……………………………………6分
∴當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，    ，；
當(dāng)時(shí)，　，．    ……………………………………8分
（3）討論方程解的個(gè)數(shù)，即討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823182731896393.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以
①當(dāng)時(shí)，，，所以
（僅在時(shí)，）
在內(nèi)是增函數(shù)，
又，
所以有唯一零點(diǎn)；                              ……………………………………9分
②當(dāng)時(shí)，由（2）知有唯一零點(diǎn)；           ……………………………………10分
③當(dāng)時(shí)，，
（僅在時(shí)，）
所以在內(nèi)是增函數(shù)，
又，
所以有唯一零點(diǎn)；                             ……………………………………11分
④當(dāng)時(shí)，，

，或時(shí)，，遞增，
時(shí)，，遞減．
, ;
時(shí)， ; 時(shí)， ，
∴在區(qū)間，及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)．
……………………………………13分
綜上，當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；
當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)解．      ……………………………………14

略