Question

設(shè)正數(shù)列a₀，a₁，a₂，…，a_n，…滿足

anan-2

-

an-1an-2

=2a_n-1，（n≥2）且a₀=a₁=1，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：由已知可得得：

an an-1

=2

an-1 an-2

+1，令

an an-1

+1=b_n，則得b_n=2b_n-1．結(jié)合等比數(shù)列的通 項(xiàng)公式即可求解

解答：解：由已知變形，同除以

an-1an-2

得：

an an-1

=2

an-1 an-2

+1，
令

an an-1

+1=b_n，則得b_n=2b_n-1．
即{b_n}是以b₁=

1 1

+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴b_n=2ⁿ．
∴

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
∴

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
∴

a1

a0

=(2-1)2

a2

a1

=(22-1)2
…

an

an-1

=（2ⁿ-1）²．
以上式子相乘可得，

an

a0

=[（2-1）（2²-1）…（2ⁿ-1）
∴a_n=（2ⁿ-1）²（2^n-1-1）²…（2-1）²（n≥1），a₀=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是對(duì)已知遞推公式的靈活變形