Question

【題目】已知f（x）=x3﹣ax2﹣a2x+1，（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的圖象不存在與l：y=﹣x平行或重合的切線，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x3﹣ax2﹣a2x+1， ∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣a2=（x﹣a）（3x+a），
當(dāng)a＜0時，x∈（﹣∞，a）和（﹣ ，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（a，﹣ ）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)a＞0時，x∈（﹣∞，﹣ ）和（a+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（﹣ ，a）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)a=0時，f'（x）≥0恒成立，f（x）R上遞增．
（Ⅱ）若f（x）的圖象不存在與l：y=﹣x平行或重合的切線，
∴f'（x）≠﹣1，
∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣a2≠﹣1恒成立，
∴3x2﹣2ax﹣a2+1≠0恒成立，
∴3x2﹣2ax﹣a2+1＞0恒成立，
∴△=4a2﹣12（﹣a2+1）＜0，
∴﹣ ＜a＜ ．
【解析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)a進行分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)，不問題轉(zhuǎn)化為3x2﹣2ax﹣a2+1＞0恒成立，利用判別式求解即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．