Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-m|+|x+6|（m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，求不等式f（x）≤12的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥7對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，f（x）≤12，即|x-5|+|x+6|≤12．由絕對(duì)值的意義可得

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、-

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對(duì)應(yīng)點(diǎn)到5和-6對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于12，從而求得不等式f（x）≤12的解集．
（Ⅱ）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得f（x）的最小值為|m+6|，由題意得|m+6|≥7，由此求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，f（x）≤12，即|x-5|+|x+6|≤12．
由于|x-5|+|x+6|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到5和-6對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而

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、-

13

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到5和-6對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于12，
故不等式f（x）≤12的解集為{x|-

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≤x≤

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2

}．
（Ⅱ）f（x）=|x-m|+|x+6|≥|（x-m）-（x+6）|=|m+6|，由題意得|m+6|≥7，
故有m+6≥7，或m+6≤-7，解得m≥1或m≤-13，故m的取值范（-∞，-13]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．